LAN の スピードを改善する
ネットワークのスピードが遅い原因は、ケーブルやHUBが1000BATSE-T（ギガビット）に対応していないからではないですか？
古いケーブルや、古いHUBを使っているとLANの通信速度が、100bps（100BASE-T）になっています。今は、1000M（1G）bps～10000M（10G）bps が標準です。
LANケーブルの規格をカテゴリで表示している場合は、カテゴリ5e以上の規格が、1000Mbps対応です。
HUBとケーブルを交換
まずは、HUBとケーブルを1000BASE-t（ギガビット）対応に交換することです。
ローカルネットワーク測定は、コマンドプロンプトで
測定は、コマンドプロンプトで、下記のコマンドを実行します。
ping -l 60000 xxx.xxx.xxx.xxx(ネットワーク内の機器のIPアドレス)
測定するときの単位で、bps と Bps（B/s）の違いに注意してください。
bps は、bit per second で1秒間の転送ビット数です。
Bps（B/s） は、Byte per second で1秒間の転送バイト数です。（1Byte = 8bit）
つまり、8倍違います。混在しないようにしてください。
1000BASE-Tだと、2ms
100BASE-Tだと、11ms
程度の、スピードが出ます。
pingで、ネットワークスピードを計測する仕組みは、下記のページを参考にしてください。
pingでネットワークの速度を調査する：Tech TIPS - ＠IT
Access データベース を 社内で共有
データベースは、SQL Database を利用することが多いですが、社内で管理するには、専門知識が必要です。
Access データベースであれば、簡単に管理することができます。
しかし、複数人で共有した場合のスピードは、SQL Database には、かないません。
1000BASET-Tのネットワークにすれば、5～10人程度の共有であれば、実用レベルのスピードが出ると思います。
NASの性能も影響しますので、速度の速いNASをお薦めします。
Access データベースをきょあゆあして運用することは、Windows Server との運用コストと比較すると、格段に安価に運用管理できると思います。